垂心拋物線

垂心拋物線

遙想當年高三的時候太無聊
就隨便畫隨便證明
意外的發現了這個現象:

如果有一線段AB、平行於一直線L
有一個點 P
沿著直線L移動
則△ABP的垂心軌跡
將會形成一條拋物線!

(垂心:三角形的三個高交會的那個點)

 

垂心拋物線

 

垂心拋物線  

 

那要怎麼證明呢?
當然還是得先訂個座標
直接把L當作x軸
然後AB正中間作中垂線當作y軸
A點座標是(-a,b)
B點座標是(a,b)
P點座標是(p,0)

垂心拋物線

垂心拋物線

再來就是要找到垂心H的座標了!

垂心的特性
因為是三角形三邊的「高」
所以要掌握的就是垂直的特性
然後因為高一定是從頂點出來
我們就知道H的x座標
一定是跟著P點在走

也就是說H的座標可改成 (p,y)

垂心拋物線  

那再來比較麻煩的就是H的y座標了

要注意的是
這邊我們希望要找的是y跟p之間的關係

先放大一點來看
BD、PC分別是兩條高

垂心拋物線  

PC一定垂直於AB這不用管它
重點在於BD垂直於AP
也就是說BH也垂直於AP

所以現在要計算的就是讓BH向量、可以垂直於AP向量

BH向量為 (p-a, y-b)
AP向量為 (p+a, -b)

向量若為垂直
則內積為0

向量BH‧AP
= (p-a)*(p+a) + (y-b)*(-b)
= p2 - a2 - by + b2
= 0

所以

by = p2 - a2 + b2

y = (1/b) p+  (b2 - a2)/b

由此可知y和p的關係正好是拋物線!
且由於b<0,所以這是一個開口向下的拋物線

(不過要注意的是這邊的直線L並不是準線喔)

 

總之大家有空可以畫畫看囉!

垂心拋物線

belleaya (愛) 發表在 痞客邦 PIXNET 留言(2) 人氣()


留言列表 (2)

發表留言
  • Yo-祐
  • 光是看到數學整個天旋地轉呢!
  • 當初沒想到用向量證明時
    光是轉軸什麼的要找到垂心座標就要發瘋了XD

    belleaya (愛) 於 2015/05/05 00:31 回覆

  • jj
  • 在網路上到處亂逛十幾年
    還沒有部落格可以讓我停駐、思考、留言的
    給你一個讚
    希望大家智慧增長!
  • 謝謝!!!

    belleaya (愛) 於 2015/10/24 08:29 回覆