an+1 = 2 an + 1

連續兩兩互質數列 (1)

這個問題是在大二的時候想到的
當初好像單純因為無聊想說有沒有什麼數列可以連續互質(不一定是質數)
想想最重要的就在於除了首項之外
每一個都一定是奇數
因此最直觀的想法就是控制首項之外每一項一定要是奇數
所以就直接乘以2再加1 (很直觀)
那現在的問題是:

an+1 = 2 an + 1
a1 = 2

證明這個數列連續兩項必定互質


這題可以用數學歸納法+反證法來證明
a1 = 2
a2 = 2x2 + 1 = 5
所以 a1、a2 互質

現在假設 an、an+1 互質
然後假設 an+1、an+2 不互質 

所以設
an+1 = ms
an+2 = mt
其中 m, s, t 皆為正整數
m 是 an+1 , an+2 的最大公因數且 m>1

而根據數列本身
mt = 2ms + 1
mt - 2ms = 1
m (t-2s) = 1
且因為 t、s 皆為正整數
故 t-2s 也是整數

但不存在 正整數m>1 使得 m (t-2s) = 1
故矛盾

由此可知 an+1、an+2 互質

根據數學歸納法
此數列連續兩數必定互質


確定這個性質之後
其實還想知道如果是 an、an+2 會不會也互質呢?
(也就是隔一項也會互質)

這個部份其實可以先轉換成一般式
由於 a2 = 2 a1 +1 = 2 a1 + 2 - 1
a3 = 2 a2 +1 = 2 (2 a1 + 1) +1 = 4 a1 + 3 = 4 a1 + 4 - 1
a4 = 2 a3 +1 = 2 (4 a1 + 3) +1 = 8 a1 + 7 = 8 a1 + 8 - 1
可以發現規律 an = 2n-1a1 + 2n-1 - 1
又因為 a1 = 2
可推得一般式是 an = 2n + 2n-1 - 1 之後會用到

現在假設 an、an+2 不互質
所以可設
an = ms
an+2 = mt
其中 m, s, t 皆為正整數
m 是 an , an+2 的最大公因數且 m>1

an+2 = 2 an+1 + 1 = 2 ( 2 an + 1 ) + 1 = 4 an + 3
即 mt = 4 ms + 3
m(t-4s) = 3
但因為 m、(t-4s) 皆為整數
因此m只有兩種可能 m=1(與假設不符)  或  m=3
所以
an = 3s
an+2 = 3t

套入一般式
an+2 = 2n+2 + 2n+1 - 1
= 2n+1 x (2+1) - 1
= 2n+1 x 3 - 1
但是因為 an+2 = 3t 是3的倍數
3t = 2n+1 x 3 - 1
不存在正整數 t, n 使得
3的倍數 = 3的倍數 - 1
故不合

所以 an、an+2 互質



由上述可以得知
在這個數列不但連續兩個互質
隔一個也互質
簡言之就是任意抽三個連續項
必定兩兩互質!


不過這個數列是否還有辦法擴充呢?
(待續 見下篇)

belleaya (愛) 發表在 痞客邦 PIXNET 留言(1) 人氣()


留言列表 (1)

發表留言
  • 訪客
  • 是說1,2,3,本來就連續互質了?
    從joke版連過來看到這麼正經的文好驚訝XD
  • XDDDD
    我大部份時候都很正經啦!!!

    belleaya (愛) 於 2015/11/04 18:10 回覆

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