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現值的計算：PVIF、PVIFA

與未來值 FVIF、FVIFA 的概念剛好反過來想──

◎ 現值利率因子 PVIF

現值的計算則是把未來特定時間點會拿到的一筆錢，換算回如果現在的話值多少。
所以這就一樣要考量到有幾期、利率多少，整體而言概念其實也差不多。

公式想知道的就是現在的多少錢
在利率 i 、經過n期之後會變成1元
現值我們用PV表示的話

就是 PV x ( 1 + i )ⁿ = 1

所以 PV _i,n = 1 / ( 1 + i )ⁿ

例：年利率2%，四年後的200元，現值多少？

解：
200元 x PVIF _2%,4 = 200元 x 0.9238 = 184.76元

這概念也可以用來算比方說通貨膨脹率是2%，10年後的100元，在現在是多少錢。

或者是也可用在算現在要存一筆多少錢放著，在年利率4%的情況下、20年後一口氣領出來一千萬。

◎ 年金現值利率因子 PVIFA

這個概念比較複雜一點
這邊我們先舉個例子推公式
比方今天假設某人跟銀行借一筆錢 a 元 ( a不知道 )
跟銀行講好利率 r 、每期還 1 元、共 n 期攤還完
現在想知道 a 到底是多少

看圖可以知道：
第一期過完欠銀行的錢要先算一次利息了 a(1+r)
不過也會先還完第一個一塊錢
所以第一期期末還欠銀行  a(1+r) - 1

第二期期末一樣先算利息
把第一期的錢套進來 [ a(1+r) - 1 ] (1+r)
然後再還掉一塊錢  [ a(1+r) - 1 ] (1+r) - 1
展開 = a(1+r)² - (1+r) - 1

同理，第三期末欠銀行的錢是
[ a(1+r)² - (1+r) - 1 ] (1+r) - 1
= a(1+r)³ - (1+r)² - (1+r) - 1

照這樣來繼續推
可以知道在第n期期末
欠銀行的錢公式應該是
a(1+r)ⁿ - (1+r)^n-1 - ... - (1+r)² - (1+r) - 1
= a(1+r)ⁿ - [ (1+r)^n-1 + ... + (1+r)² + (1+r) + 1 ]

後面那串是一個公比為(1+r)的等比級數，項數有n項 (因為從0次方到n-1次方)
所以我們可以把這串計算一下：

= a(1+r)ⁿ - [(1+r)ⁿ-1]/(1+r - 1)
= a(1+r)ⁿ - [(1+r)ⁿ-1]/r

但是因為是最後一年了
等於是錢都還完了、不欠銀行錢了
所以這一坨就是0

即a(1+r)ⁿ - [(1+r)ⁿ-1]/r =0

所以 a = {1 - [1/(1+r)ⁿ] }/r

公式： PVIFA = {1 - [1/(1+r)ⁿ] }/r

這個概念可以把它想成是
銀行願意先花 a 塊錢
來換取未來 n 期每期可以回收 1 塊錢

更一般化地講
就是投資多少錢
來換取後面的錢

這個也可以用來算分期付款每一期要還多少錢
例：比方今天買網拍10000元買東西、以複利分12期(12個月)還完、年利率12%

解：
因為要先換成月利率所以要先把年利率12%除以12
即月利率 1%
PVIFA _1%,12 = 11.2551
即是如果每花 11.2551元就要每期付1元
那現在花了 10000元
那每期就要還 10000 / 11.2551 = 888.4861元