B E L L E A Y A 雜七雜八創作小窩

好題解析001: 相似三角形題型

這個系列挑一些不錯的中學數學題目來介紹！
有些真的還蠻不容易直接想到解法的
但真的解出來時會發現題目的概念應用相當有趣
會有「這題出得真好」的震撼

題目：
如圖，已知 AM = MB
　　　　　 BD = DE = EC
求 MF : FG : GC = ?


這題原本想說會不會跟重心或是面積有關
不過根本無從下手
後來因為學弟解另一題的解法
才讓我驚覺應該要用相似三角形的概念來解！

首先，連接 MD
並且延伸 MA 至 H 點
使 HA = MA
(這個步驟不容易想到，主要是因為下面是三等分、所以上面也做三等分)

所以根據相似三角形的概念
可以知道 MD // AE // HC
這個性質非常重要，是下面繼續解題的基礎

首先我們看 △MHC
因為 AG // HC
所以 △MAG ~ △MHC
MG : GC = MA : AH = 1 : 1 ------ (1)

再來我們想要知道 MF 這段的比例
比較有關的就是 MF : FC

所以我們把 CH 向上延伸
然後 DA 同樣向上延伸
讓兩條線交於 I 點
以做出 △MFD 和 △CFI
因為 MD // IC
所以 △MFD ~ △CFI
於是可以得知 MF : FC = MD : CI ------ (2)

然後在 △BAE 裡面
因為 MD // AE
且 BD = DE
所以 AE = 2 MD ------ (3)

再來看看 △DCI 裡面
因為 AE // IC
且 DE = EC
所以 IC = 2AE ------ (4)

由(3)和(4)式
可以得到 IC = 2AE = 4MD
即 MD : IC = 1 : 4

又由(2)式
可得知 MF : FC = MD : IC = 1 : 4

也就是說 MC = MF + FC = 5MF

由(1)式
CG = MC ÷ 2 = 2.5 MF

FG = MC - MF - CG = 5MF - 1MF - 2.5 MF = 1.5 MF

因此
MF : FG : GC
= MF : 1.5MF : 2.5MF
= 2 : 3 : 5

這題最難想到的就是第一步輔助線
一般根本不太會突然想到要這樣畫吧！
最初的確是會先直覺的連接起 MD
會發現 MD // AE
然後若想到相似三角形的話才會特別又再把它延伸出去吧！

這題有另一個解法
只要一條參考線的