B E L L E A Y A 雜七雜八創作小窩

a_n+1 = 2 a_n + 1

這個問題是在大二的時候想到的
當初好像單純因為無聊想說有沒有什麼數列可以連續互質(不一定是質數)
想想最重要的就在於除了首項之外
每一個都一定是奇數
因此最直觀的想法就是控制首項之外每一項一定要是奇數
所以就直接乘以2再加1 (很直觀)
那現在的問題是：

a_n+1 = 2 a_n + 1
a₁ = 2

證明這個數列連續兩項必定互質

這題可以用數學歸納法+反證法來證明
a₁ = 2
a₂ = 2x2 + 1 = 5
所以 a₁、a₂ 互質

現在假設 a_n、a_n+1 互質
然後假設 a_n+1、a_n+2 不互質 

所以設
a_n+1 = ms
a_n+2 = mt
其中 m, s, t 皆為正整數
m 是 a_n+1 , a_n+2 的最大公因數且 m>1

而根據數列本身
mt = 2ms + 1
mt - 2ms = 1
m (t-2s) = 1
且因為 t、s 皆為正整數
故 t-2s 也是整數

但不存在 正整數m>1 使得 m (t-2s) = 1
故矛盾

由此可知 a_n+1、a_n+2 互質

根據數學歸納法
此數列連續兩數必定互質

確定這個性質之後
其實還想知道如果是 a_n、a_n+2 會不會也互質呢？
(也就是隔一項也會互質)

這個部份其實可以先轉換成一般式
由於 a₂ = 2 a₁ +1 = 2 a₁ + 2 - 1
a₃ = 2 a₂ +1 = 2 (2 a₁ + 1) +1 = 4 a₁ + 3 = 4 a₁ + 4 - 1
a₄ = 2 a₃ +1 = 2 (4 a₁ + 3) +1 = 8 a₁ + 7 = 8 a₁ + 8 - 1
可以發現規律 a_n = 2^n-1a₁ + 2^n-1 - 1
又因為 a₁ = 2
可推得一般式是 a_n = 2ⁿ + 2^n-1 - 1 之後會用到

現在假設 a_n、a_n+2 不互質
所以可設
a_n = ms
a_n+2 = mt
其中 m, s, t 皆為正整數
m 是 a_n , a_n+2 的最大公因數且 m>1

a_n+2 = 2 a_n+1 + 1 = 2 ( 2 a_n + 1 ) + 1 = 4 a_n + 3
即 mt = 4 ms + 3
m(t-4s) = 3
但因為 m、(t-4s) 皆為整數
因此m只有兩種可能 m=1(與假設不符)  或  m=3
所以
a_n = 3s
a_n+2 = 3t
套入一般式
a_n+2 = 2ⁿ⁺² + 2ⁿ⁺¹ - 1
= 2ⁿ⁺¹ x (2+1) - 1
= 2ⁿ⁺¹ x 3 - 1
但是因為 a_n+2 = 3t 是3的倍數
3t = 2ⁿ⁺¹ x 3 - 1
不存在正整數 t, n 使得
3的倍數 = 3的倍數 - 1
故不合

所以 a_n、a_n+2 互質

由上述可以得知
在這個數列不但連續兩個互質
隔一個也互質
簡言之就是任意抽三個連續項
必定兩兩互質！

不過這個數列是否還有辦法擴充呢？
(待續 見下篇)