B E L L E A Y A 雜七雜八創作小窩

好題解析002: 相似三角形題型

這次同樣也是運用相似三角形的概念為主
不過也有運用到切線性質
所以也是一個不錯的題目

首先要知道的切線性質就是：
切線與過切點的直徑垂直

 
所以我們知道AB┴AD、DC┴AD
也就是說 AB // DC

接著連結OE、OC
由於OE┴BC
AO=OE=半徑
OB=OB
∠OAB = ∠OEB = 90度
RHS全等所以△OAB全等於△OEB
故 AB = BE

同理 DC = EC
透過畢式定理計算可得知 AB = 4

另外
延BO與CD作延長線
交會於G點(如下圖)

 
BE = AB = 4
OE = 半徑 = 6

而因為全等三角形 ∠OBA=∠OBE
∠OCE=∠OCD
且因為 AB // DC
故 ∠OBA + ∠OBE + ∠OCE + ∠OCD = 180度
即 2 ∠OBE + 2 ∠OCE = 180度
∠ OBE + ∠OCE = 90度
因此 ∠BOC = 180度 - (∠OBE + ∠OCE) = 90度

又 ∠BEO = 90度、∠CEO = 90度
∠OBE = 90度 - ∠BOE = ∠EOC
所以 △OBE ~ △COE
(如下圖黃色與綠色區域)
因此 BE : EO = EO : EC
即 4 : 6 = 6 : EC
可得 EC = 9 = CD

又根據上圖紫色區
∠AOB = ∠DOG
∠ OAB = ∠ODG = 90度
OA = OD = 半徑
根據ASA全等性質
△OAB全等於△ODG
GD = AB = 4

 最後我們答案終於呼之欲出了！

在直角△ADC中
AD = 12、DC = 9
所以 AC = 15

而在上圖綠色區域
可發現 △AFB ~ △CFG
因此 AF : FC = AB : GC = 4 : 13
設AF = 4k，FC=13k
AF + FC = AC = 15
即 4k + 13k = 15
k = 15/17
FC = 13k = 15x13/17 = 195/17

這題雖說寫起來一大落
不過實際上圖畫一畫就可以了